神經(jīng)網(wǎng)絡和數(shù)學之間的聯(lián)系在哪里？看完你就明白

雷鋒網(wǎng)按：本文原作者憶臻，本文原載于作者的知乎專欄——機器學習算法與自然語言處理。雷鋒網(wǎng)已獲得作者授權。

在我們了解過神經(jīng)網(wǎng)絡的人中，都了解神經(jīng)網(wǎng)絡一個有很常見的訓練方法，BP 訓練算法。通過 BP 算法，我們可以不斷的訓練網(wǎng)絡，最終使得網(wǎng)絡可以無限的逼近一種我們想要擬合的函數(shù)，最終訓練好的網(wǎng)絡它既能在訓練集上表現(xiàn)好，也能在測試集上表現(xiàn)不錯！

那么 BP 算法具體是什么呢？為什么通過 BP 算法，我們就可以一步一步的走向最優(yōu)值（即使有可能是局部最優(yōu)，不是全局最優(yōu)，我們也可以通過其它的方法也達到全局最優(yōu)），有沒有一些什么數(shù)學原理在里面支撐呢？這幾天梳理了一下這方面的知識點，寫下來，一是為了記錄，二也可以分享給大家，防止理解錯誤，一起學習交流。

BP 算法具體是什么，可以參考我這篇文章知乎專欄（詳細的將 BP 過程走了一遍，加深理解），那么下面解決這個問題，為什么通過 BP 算法，就可以一步一步的走向更好的結果。首先我們從神經(jīng)網(wǎng)絡的運行原理來看，假如現(xiàn)在有下面這個簡單的網(wǎng)絡，如圖：

我們定義符號說明如下：

則我們正向傳播一次可以得到下面公式：

如果損失函數(shù) C 定義為

那么我們希望訓練出來的網(wǎng)絡預測出來的值和真實的值越接近越好。我們先暫時不管 SGD 這種方法，最暴力的我們希望對于一個訓練數(shù)據(jù)，C 能達到最小，而在 C 表達式中，我們可以把 C 表達式看做是所有 w 參數(shù)的函數(shù)，也就是求這個多元函數(shù)的最值問題。那么成功的將一個神經(jīng)網(wǎng)絡的問題引入到數(shù)學中最優(yōu)化的路上了。

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好，我們現(xiàn)在順利的將一個神經(jīng)網(wǎng)絡要解決的事情轉變?yōu)橐粋€多元函數(shù)的最優(yōu)化上面來了。現(xiàn)在的問題是怎么修改 w，來使得 C 越來越往最小值靠近呢。常見的方法我們可以采取梯度下降法（為什么梯度下降法中梯度的反方向是最快的方向，可以參考我下篇文章，不是這篇文章主旨）。可能到這還有點抽象，下面舉一個特別簡單的例子。

假如我們的網(wǎng)絡非常簡單，如下圖（符號說明跟上面一樣）：

那么我們可以得到：

其中

只有 w 參數(shù)是未知的，那么 C 就可以看做是關于 w 的二元函數(shù)（二元函數(shù)的好處就是我們可以在三維坐標上將它可視化出來，便于理解~）。 圖片來自于網(wǎng)絡：

下面走一遍算法過程：

我們先開始隨機初始化 w 參數(shù)，相當于我們可以在圖上對應 A 點。

下面我們的目標是到達最低點 F 點，于是我們進行往梯度反方向進行移動，公式如下：

每走一步的步伐大小由前面的學習率決定，假如下一步到了 B 點，這樣迭代下去，如果全局只有一個最優(yōu)點的話，我們在迭代數(shù)次后，可以到達 F 點，從而解決我們的問題。

那么好了，上面我們給出二元函數(shù)這種簡單例子，從分析到最后求出結果，我們能夠直觀可視化最后的步驟，那么如果網(wǎng)絡復雜后，變成多元函數(shù)的最優(yōu)值求法原理是一模一樣的！到此，我結束了該文要講的知識點了。 歡迎各位朋友指錯交流~

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在我學習的時候，我已經(jīng)理解了上面的知識了，但是我在思考既然我最后已經(jīng)得到一個關于 w 的多元函數(shù)了，那么我為什么不直接對每一個 w 進行求偏導呢，然后直接進行更新即可，為什么神經(jīng)網(wǎng)絡的火起還需要 bp 算法的提出才復興呢！我的疑惑就是為什么不可以直接求偏導，而必須出現(xiàn) BP 算法之后才使得神經(jīng)網(wǎng)絡如此的適用呢？下面給出我的思考和理解（歡迎交流~）

1. 為什么不可以直接求導數(shù)？

在神經(jīng)網(wǎng)絡中，由于激活函數(shù)的存在，很多時候我們在最后的代價函數(shù)的時候，包含 w 參數(shù)的代價函數(shù)并不是線性函數(shù)，比如最簡單的

這個函數(shù)對 w 進行求導是無法得到解析解的，那么說明了無法直接求導的原因。

2. 那么既然我們我們不能夠直接求導，我們是否可以近似的求導呢？比如可以利用

根據(jù)這個公式我們可以近似的求出對每個參數(shù)的導數(shù)，間距越小就越接近，那么為什么不可以這樣，而必須等到 BP 算法提出來的時候呢？思考中……

答：是因為計算機量的問題，假設我們的網(wǎng)絡中有 100 萬個權重，那么我們每一次算權重的偏導時候，都需要計算一遍改變值，而改變值必須要走一遍完整的正向傳播。那么對于每一個訓練樣例，我們需要 100 萬零一次的正向傳播（還有一次是需要算出 C），而我們的 BP 算法求所有參數(shù)的偏導只需要一次反向傳播即可，總共為倆次傳播計時。到這里我想已經(jīng)解決了為什么不能夠用近似的辦法，因為速度太慢，計算復雜度太大了~ 每一次的傳播，如果參數(shù)多的話，每次的矩陣運算量非常大，以前的機器速度根本無法承受~ 所以直到有了 BP 這個利器之后，加快了神經(jīng)網(wǎng)絡的應用速度。

以上僅個人理解，感謝德川的幫助！歡迎知友提出問題交流~

以下是我學習用到的資料和博客：
《neural networks and deep learning》需要中文版的歡迎留言郵箱
零基礎入門深度學習 (1) - 感知器

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