雷鋒網按：本文原作者李飛騰，本文整理自知乎專欄——數字編程。雷鋒網已獲得轉載授權。
如果能二秒內在腦袋里解出下面的問題，本文便結束了。
已知：
，其中
。
求：
，
，
。
到這里，請耐心看完下面的公式推導，無需長久心里建設。
首先，反向傳播的數學原理是 “求導的鏈式法則” :
設
和
為
的可導函數，則
。
接下來介紹
矩陣、向量求導的維數相容原則
利用維數相容原則快速推導反向傳播
編程實現前向傳播、反向傳播
卷積神經網絡的反向傳播
快速矩陣、向量求導
這一節展示如何使用鏈式法則、轉置、組合等技巧來快速完成對矩陣、向量的求導
一個原則維數相容，實質是多元微分基本知識，沒有在課本中找到下列內容，維數相容原則是我個人總結：
維數相容原則：通過前后換序、轉置 使求導結果滿足矩陣乘法且結果維數滿足下式：
如果
， 
，那么
。
利用維數相容原則解上例：
step1：把所有參數當做實數來求導，
，
依據鏈式法則有
，
，
可以看出除了，和
的求導結果在維數上連矩陣乘法都不能滿足。
step2：根據 step1 的求導結果，依據維數相容原則做調整：前后換序、轉置
依據維數相容原則
，但
中
、
，自然得調整為
；
同理：
，但 
中
、
，那么通過換序、轉置我們可以得到維數相容的結果
。
對于矩陣、向量求導：
如何證明經過維數相容原則調整后的結果是正確的呢？直覺！簡單就是美...
快速反向傳播
神經網絡的反向傳播求得 “各層” 參數
和
的導數，使用梯度下降（一階 GD、SGD，二階 LBFGS、共軛梯度等）優化目標函數。
接下來，展示不使用下標的記法（
, 
or
）直接對和求導，反向傳播是鏈式法則和維數相容原則的完美體現，對每一層參數的求導利用上一層的中間結果完成。
這里的標號，參考 UFLDL 教程 - Ufldl
前向傳播：
（公式 1）
（公式 2）
為第
層的中間結果，
為第層的激活值，其中第
層包含元素：輸入，參數
、
，激活函數
，中間結果
，輸出
。
設神經網絡的損失函數為
（這里不給出具體公式，可以是交叉熵、MSE 等），根據鏈式法則有：
這里記 
，其中
、 
可由 公式 1 得出，
加轉置符號
是根據維數相容原則作出的調整。
如何求 
？ 可使用如下遞推（需根據維數相容原則作出調整）：
其中
、 
。
那么我們可以從最頂層逐層往下，便可以遞推求得每一層的
注意：是逐維求導，在公式中是點乘的形式。
反向傳播整個流程如下：
1) 進行前向傳播計算，利用前向傳播公式，得到隱藏層和輸出層 的激活值。
2) 對輸出層 (第層)，計算殘差：
（不同損失函數，結果不同，這里不給出具體形式）
3) 對于
的隱藏層，計算：
4) 計算各層參數、偏導數：
編程實現
大部分開源 library（如：caffe，Kaldi/src/{nnet1,nnet2}）的實現通常把、作為一個 layer，激活函數作為一個 layer（如：sigmoid、relu、softplus、softmax）。
反向傳播時分清楚該層的輸入、輸出即能正確編程實現, 如：
(公式 1)
(公式 2)
(1) 式 AffineTransform/FullConnected 層，以下是偽代碼：
注: out_diff = 
是上一層（Softmax 或 Sigmoid/ReLU 的 in_diff）已經求得：
（公式 1-1）
（公式 1-2）
（公式 1-3）
(2) 式激活函數層（以 Sigmoid 為例）
注：out_diff = 
是上一層 AffineTransform 的 in_diff，已經求得,
在實際編程實現時，in、out 可能是矩陣 (通常以一行存儲一個輸入向量，矩陣的行數就是 batch_size)，那么上面的 C++ 代碼就要做出變化（改變前后順序、轉置，把函數參數的 Vector 換成 Matrix，此時 Matrix out_diff 每一行就要存儲對應一個 Vector 的 diff，在 update 的時候要做這個 batch 的加和，這個加和可以通過矩陣相乘 out_diff*input（適當的轉置）得到。
如果熟悉 SVD 分解的過程，通過 SVD 逆過程就可以輕松理解這種通過乘積來做加和的技巧。
丟掉那些下標記法吧！
卷積層求導
卷積怎么求導呢？實際上卷積可以通過矩陣乘法來實現（是否旋轉無所謂的，對稱處理，caffe 里面是不是有 image2col），當然也可以使用 FFT 在頻率域做加法。
那么既然通過矩陣乘法，維數相容原則仍然可以運用，CNN 求導比 DNN 復雜一些，要做些累加的操作。具體怎么做還要看編程時選擇怎樣的策略、數據結構。
快速矩陣、向量求導之維數相容大法已成。
雷峰網版權文章，未經授權禁止轉載。詳情見轉載須知。
